Ukuran Pemusatan

STUDI LITERATUR

2.2.      Ukuran Pemusatan

Nilai tunggal yang dianggap dapat mewakili keseluruhan nilai dalam data dianggap sebagai rata-rata (averages), karena nilai rata-rata itu dihitung berdasarkan keseluruhan nilai yang terdapat dalam data bersangkutan. Nilai rata-rata itulah yang disebut ukuran nilai pusat atau ukuran pemusatan atau ukuran tendensi pusat.

Ukuran nilai pusat atau ukuran pemusatan merupakan ukuran yang dapat mewakili data secara keseluruhan. Artinya, jika keseluruhan nilai yang ada dalam data tersebut diurutkan besarnya dan selanjutnya dimasukkan nilai rata-rata kedalamnya, nilai rata-rata tersebut memiliki kecenderungan terletak diurutan paling tengah atau pusat. (M. Iqbal Hasan, 2003)

2.2.1    Jenis-Jenis Ukuran Nilai Pusat atau Ukuran Pemusatan

Jenis-jenis ukuran nilai pusat atau ukuran pemusatan ada tiga, yaitu mean, modus, median. Dibawah ini penjelasan mengenai jenis-jenis ukuran nilai pusat adalah sebagai berikut:

a.        Rata-rata Hitung (Mean)

Rata-rata hitung (mean) adalah nilai rata-rata dari data-data yang ada. Rata-rata hitung dari populasi diberi simbol µ (miu). Rata-rata hitung dari sampel diberi simbol   (eks bar). Mencari rata-rata hitung secara umum dapat ditentukan dengan rumus: (M. Iqbal Hasan, 2003) 

 

Rata-rata hitung (mean) untuk data tunggal :

Cara menghitung rata-rata hitung (mean) untuk data tunggal. Jika X₁, X₂, . . ., Xn merupakan n buah nilai dari variabel X, maka rata-rata hitungnya sebagai berikut. 

Keterangan:

X  = rata-rata hitung (mean)

x  = wakil data

n  = jumlah data

Rata-rata hitung (mean) data berkelompok :

Untuk data-data berkelompok, rata-rata hitung (mean) dihitung dengan menggunakan 3 metode, yaitu metode biasa, metode simpangan, metode simpangan rata-rata dan metode coding. (M. Iqbal Hasan, 2003)

1.    Metode biasa

Apabila telah dibentuk distribusi frekuensi biasa, dengan fi = frekuensi pada interval kelas ke-i, Xi = titik tengah interval kelas ke-i, maka rata-rata hitung (mean) dapat dihitung dengan rumus: 

 

2.    Metode simpangan rata-rata
Apabila M adalah rata-rata hitung sementara maka rata-rata hitung dapat dihitung dengan rumus: 

 

Keterangan:

M = rata-rata hitung sementara, biasanya diambil dari titik tengah     kelas dengan frekuensi terbesarnya (titik tengah kelas modus)

d   = X – M

X  = titik tengah interval kelas

f    = frekuensi kelas

3.    Metode coding

Metode coding sering digunakan apabila dijumpai nilai-nilai dalam data yang berupa bilangan-bilangan besar. Pada dasarnya, metode itu merupakan penjabaran dari metode simpangan rata-rata. Dirumuskan: 

b.       Median

Median adalah nilai yang berada ditengah-tengah data setelah data diurutkan. Kegunaan median adalah untuk menutupi kelemahan rata-rata hitung sering memiliki nilai data yang berbeda secara ekstrem. (Corry Yohana, 2007)

Median data tunggal :

Median untuk data tunggal dapat dicari dengan pedoman sebagai berikut:

1.    Jika jumlah data ganjil, mediannya adalah data yang paling tengah.

2.    Jika jumlah data genap, mediannya adalah hasil bagi jumlah dua data yang berada ditengah. Pedoman tersebut dirumuskan sebagai berikut:  (M. Iqbal Hasan, 2003)
Untuk data ganjil (n = ganjil)

 

Untuk data genap (n = genap)

Atau secara singkat median dapat ditentukan: 

Median data berkelompok :

Pengertian median dengan data berkelompok adalah sama dengan data tunggal yaitu nilai yang letaknya ada ditengah data sehingga data berada setengahnya diatas dan setengahnya dibawah. yang agak membedakan median data berkelompok dengan median data tunggal adalah karakteristik masing-masing data tidak dapat diidentifikasi lagi yang dapat diketahui hanya karakter dari kelas atau intervalnya. (Corry Yohana, 2007) 

Keterangan :

Md  = nilai median

L      = batas bawah atau tepi kelas dimana median berada

CF   = frekuensi kumulatif sebelum kelas median berada

F      = frekuensi dimana kelas median berada

I       = besarnya interval kelas (jarak antara batas atas kelas dengan batas

            bawah kelas.

c.         Modus (Mode)

Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam data. Modus sering ditulis dalam singkat atau disimbolkan dengan Mo. Sejumlah data bisa tidak mempunyai modus, mempunyai satu modus (Unimodal), mempunyai dua modus (Bimodal), atau mempunyai lebih dari dua modus (Multimodal). Cara mencari modus dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. (M. Iqbal Hasan, 2003)

Modus data tunggal :

Modus dari data tunggal adalah data yang frekuensinya terbanyak.

Modus data berkelompok :

Untuk data berkelompok, dalam hal ini adalah distribusi frekuensi, modus hanya dapat diperkirakan. Nilai yang paling sering muncul akan berada pada kelas yang memiliki frekuensi terbesar. Kelas yang memiliki frekuensi terbesar disebut sebagai kelas modus.

Modus data berkelompok dapat dicari dengan rumus berikut. 

 

 2.2.2    Ukuran-Ukuran yang Lain

Selain ketiga ukuran nilai pusat atau ukuran pemusatan (rata-rata hitung, median, dan modus), fraktil, rata-rata ukur, dan rata-rata harmonis termasuk juga dalam ukuran nilai pusat atau ukuran pemusatan. Berikut adalah penjelasan dari ukuran-ukuran lain pada (M. Iqbal Hasan, 2003)

a.        Fraktil

Fraktil adalah nilai-nilai yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi beberapa bagian yang sama. Fraktil dapat berupa kuartil, desil dan persentil. (M. Iqbal Hasan, 2003)

1.    Kuartil (Q)

Kuartil adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi empat bagian yang sama. Terdapat tiga jenis kuartil, yaitu kuartil bawah atau pertama (Q₁), kuartil tengah atau kedua (Q₂), dan kuartil atas atau ketiga (Q₃). Kuartil kedua sama dengan median. (M. Iqbal Hasan, 2003)

a.         Kuartil data tunggal

Untuk data tunggal, kuartil-kuartilnya dapat dicari dengan menggunakan metode mencari median, atau rumus: 

 

b.        Kuartil data berkelompok

Untuk data berkelompok, kuartil-kuartilnya dapat dicari dengan rumus: 

2.    Desil (D)

Desil adalah fraktil yang membagi seperangkat data yang telah terurut menjadi sepuluh bagian yang sama. Terdapat sembilan jenis desil, yaitu desil pertama (D₁), desil kedua(D₂), . . . , dan desil kesembilan (D₉), desil kelima (D₅) sama dengan median. (M. Iqbal Hasan, 2003)

a.         Desil data tunggal

Untuk data tunggal, desil-desilnya dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut : 

 

b.        Desil data kelompok

Untuk data kelompok (distribusi frekuensi), desil-desilnya dapat dicari dengan rumus berikut :

Keterangan :

D_i        = desil ke-i

Bi        = tepi bawah kelas desil ke-i

N         = jumlah frekuensi

(∑fi) o = jumlah frekuensi sebelum kelas desil ke-i

C         = panjang interval kelas desil ke-i

f_Di        = frekuensi kelas desil ke-i

i           = 1,2,3,.......9

3.    Persentil

Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu, dilambangkan dengan P₁ , P₂ , . . . ., P₉₉, bersifat bahwa 1% dari seluruh data terletak dibawah P₁ , 2% terletak dibawah P₂ , . . . ., dan 99% terletak dibawah P₉₉. (Ronald E. Walpole, 1992)